《经济学动态》2012年第12期

——2012年度诺贝尔经济学奖得主学术贡献评介

王培志　杨依山

    内容提要：凭借对稳定匹配和市场机制设计的理论贡献，沙普利与罗思分享了2012年度诺贝尔经济学奖。为了解决市场不完全竞争情况下的资源配置难题，沙普利研究了双边匹配和单边匹配问题，分别创建了盖尔-沙普利法则和最大交易循环法则，并找到了不同条件下的稳定匹配解。此外，他早期对沙普利值的研究和对非合作博弈理论的贡献也对经济学理论产生了巨大影响。

    关键词：沙普利　匹配　机制设计　稳定解

　　沙普利(Lloyd S.Shapley)和罗思(Alvin E.Roth)由于对稳定匹配和市场机制设计的理论与应用贡献而荣获2012年度诺贝尔经济学奖。沙普利是美国著名的数学家和经济学家，在数量经济学、博弈论方面做出了杰出贡献。在多位经济学家看来，沙普利是继冯·诺依曼、摩根斯坦等人之后在博弈论研究方面贡献最为突出的经济学家之一。

    沙普利于1923年6月2日出生于马萨诸塞州剑桥，其父是美国著名天文学家Harlow Shapley。1943年就读于哈佛大学。正当学生时代，沙普利于1943年应征加入美国陆军航空队担任一名中士，前往成都支援中国抗战，并于1944年获青铜星章。在第二次世界大战结束之后，沙普利重返哈佛大学完成学业，并于1948年获得数学学士学位。在美国兰德公司工作一年后，沙普利决定赴普林斯顿大学继续深造，并且于1953年获得博士学位。沙普利在博士论文中对F.Y.埃奇沃斯的理论进行了深入的研究，并推出了沙普利值和核的概念。博士毕业后，于1952至1954年间受聘于普林斯顿大学，随后重返兰德公司。1981年起任洛杉矶加州大学数学与经济学教授。沙普利于1967年成为计量经济学会资深会员；1979年当选为美国国家科学院院士；2007年当选为美国经济学会杰出资深会员。曾于1981年获约翰·冯·诺伊曼理论奖。

一、稳定匹配理论

    经济学研究中最重要的内容之一就是研究资源如何配置，以及如何配置是有效率且稳定的。配置资源的手段可以分为三类：通过市场这只无形的手；通过计划这只有形的手；两只手并用。当市场运行良好时，市场可以通过价格机制优化配置资源。当有些资源进行配置时，价格机制遭到法律、习俗和道德的反对，市场就不能通过价格机制配置资源。还有一些情况是，完全竞争的传统假设不能满足，特别是当商品不可分和异质时，价格机制就会失效，市场就会失灵。所以，当市场不能通过价格机制配置资源时，政府、企业或某个社会机构这只有形的手就可以有所作为，替代市场这只无形的手，提高资源的配置效率。

沙普利为稳定匹配和市场机制设计的实践应用奠定了理论基础。虽然他的学术成果众多，而且影响也很大，不过为在很多市场，商品是私人所有、不可分和异质的，并且完全竞争的条件不满足。比如，婚姻市场、熟练劳动力市场和器官移植市场，以及高校招生等。以上这些市场的交易双方必须经过合适的配对才可能让双方的交易达成。盖尔和沙普利（1962）研究了大学招生匹配和婚姻匹配。在研究中，他们没有考虑旁支付（side-payment）即工资（或者其他的匹配特征）不能私下谈判决定。他赢得诺贝尔经济学奖的学术成果当属他与盖尔（Gale & Shapley, 1962）以及和斯卡夫(Shapley & Scarf,1974)发表的两篇论文。

    （一）双方匹配

    1.稳定匹配。假设一个市场包括医学专业的在校学生和医疗机构。一个医疗机构需要一个实习医师，一个学生需要一个实习机会。一个匹配就是把实习机会分配给申请者的一种方法。当然，医疗机构有自己对学生的偏好，而学生也有自己对医疗机构的偏好。为了便于分析，假设交易者的偏好是严格单调的。对于一个交易者来说，如果还存在另外的匹配优于现在的匹配，那么现在的匹配就是不可接受的。如果一个匹配是稳定的，需要满足两个条件：一是，没有交易者发现匹配是不可接受的；二是，没有医疗机构-学生配对发现结盟会改进自己的福利。

    2．盖尔-沙普利法则。盖尔和沙普利(Gale & Shapley,1962）设计了一个滞后接受法则（a deferred-acceptance algorithm）以找到一个稳定的匹配。其机制是这样的，假设市场一方的交易者医疗机构为市场另一方的交易者学生提供实习机会。每个学生评估一下自己拿到的实习机会，如果她感觉可以接受，就先持有。这个法则最关键的是交易者面对满意的机会时，不是立即接受，而是仅仅暂时持有，即滞后接受（deferred acceptance）。如果一个医疗机构的实习机会被学生拒绝，则它可以给一个不同的学生提供一个新的实习机会。这个程序一直进行下去，直到没有一个医疗机构想提供一个新的实习机会，而且学生最后都接受他们持有的实习机会。

    以上法则按照以下规则运作。一个医疗机构刚开始会给它最满意的学生提供实习机会，如果被拒绝，它就再继续给排在第二位的学生提供机会，如果再被拒绝，它就继续依次给排在第三、第四位的学生提供机会，直到提供的机会被一个学生接受。在医疗机构提供实习机会的过程中，它的期望或者说偏好排序是递减的。相反的是，因为学生是暂时持有她收到的机会中最满意的机会，并且机会一旦提供就不能撤销，所以她的满意程度是单调递增的。当医疗机构递减的期望和学生递增的满意度一致时，就会配对成功，这个法则的运作就终止了。我们可以用一个例子来说明这个法则的运行。

    例1：有四个医学学生，有四个医疗机构。所有的匹配是可以接受的，也就说匹配会改进匹配双方的福利。学生对实习机会的偏好排序如下：

(略）...

    从以上学生的偏好可以看到，是最受欢迎的实习机会，因为三个学生都把它排到第一位。假设每一个医疗机构需要一个实习生，医疗机构的对学生的偏好如下：

(略）

    医疗机构用盖尔-沙普利法则为学生提供实习机会。在第一轮匹配，每个医疗机构首先为排序第一的学生提供实习机会，这样学生得到的机会，学生得到，学生得到和。因为学生偏好，所以她暂时持有机会，拒绝。在第二轮匹配，为学生提供机会。这样每个学生都持有了满意的机会，法则的运作结束。则最后的匹配为：

（略）

    盖尔和沙普利（1962）证明了滞后接受法则能够产生一个稳定的匹配。通过例1的匹配我们可以得到证明，虽然这个法则把学生2最不喜欢的分配给了她，但是这个匹配是稳定的。因为， 和在第一轮提供机会时都认为别的学生比学生2要好，否则它们不会这样选择。也就是说，它们有机会选择学生2，但是没有选。从学生角度来说也是如此，学生得到的机会是在所有给她提供的机会中是最满意的。所以匹配是稳定的。

例1中分析的案例与盖尔和沙普利（1962）论文中的“婚姻匹配”模型相似。如果允许一个医疗机构可以招收一个以上的实习生，这个案例则和他们的“大学招生”模型类似。盖尔和沙普利（1962）在论文里分析了如何把“婚姻匹配”模型扩展到“大学招生”模型。在这两种情况下，滞后接受法则都能够产生稳定匹配。

盖尔-沙普利法则为双方匹配问题是否存在稳定的匹配提供了证明，并提供了一个可供选择的机制来实现稳定的匹配。实际上，稳定的匹配可能不是唯一的。Gale和沙普利（1962）认为，不同的稳定匹配结果对市场双方的利益倾向是不一样的，这样就会造成利益分化。那么市场交易会倾向于哪一方呢？也就是说谁在交易中得到的好处最多？通过分析一下例子1中的稳定匹配结果，可以得知：和得到它们最满意的人选，得到它第二满意的人选。相反，只有学生3得到了最优选择，学生1和4得到了第三满意选择，学生2得到最差选择。所以例子1中的稳定匹配是医疗机构偏向的，即机制倾向于医疗机构的利益，也可以说是雇佣者最优的稳定匹配。通过下面的例子2我们可以得到学生偏向的稳定匹配。

    例2：偏好如例子1所示，但是，现在学生有优先选择权，即给出自己的偏好，让医疗机构进行选择。第一轮，学生1，2，3都偏好，学生4偏好。因为偏好学生3，所以拒绝1和2。第二轮，1偏好，2偏好，因为，偏好2，所以拒绝4。第三轮，4偏好，接受。最后的匹配为：

（略）

    和例子1中的匹配相比，除了学生3不变以外，其他的学生偏好的满足得到改进。对于医疗机构来说，除了不变以外，其他机构的偏好的满足变得更差。

当市场失灵时，社会计划者会如何设计规则呢？社会计划者可能会照顾交易某一方的利益，也可能采取一个公平的标准设定规则进行匹配，或者利用大多数原则决定。但是，在实践中，规则却难以确定，即使规则得以确定，也难以达到公平和效率兼顾。不过，盖尔和沙普利（1962）认为，对于大学招生来说是申请者偏向的，因为学校的存在就是为了培养人才，服务于社会，而不是盈利目的。可是，别的领域的规则确定却不是那么简单。

    （二）单方匹配

    沙普利和斯卡夫（1974）研究了单方交易市场，交易者互相交换不可分的物体（比如一块地），而且不能用旁支付（side-payment）。每一个交易者开始拥有一个物品。

    沙普利和斯卡夫（1974）证明最大交易循环法则（the top-trading cycle algorithm）总能产生一个稳定的配置，不过他们认为这个法则的首创应该归功于盖尔。这个法则是这样运行的：在初始禀赋下，每个交易者表明自己最偏好的物品，这样肯定会存在至少一个循环，即某些交易者会通过交换各自物品，以得到他们最偏好的物品，如果交换发生，则参与交换的交易者和物品退出市场，剩下的交易者和物品重复刚才的过程，直到所有的物品得到配置。我们可以用下面的例子3说明这个法则的运行过程。

    例3：有四个交易者。有四个物品：。交易者有如下偏好：

（略）

    假设给定两个初始禀赋结构。一个初始配置为：，也就是交易者1拥有物品，2拥有，3拥有，4拥有。在第一阶段，交易者1表明他偏好的物品是4所有的，而4表明他偏好的物品正好为1所有。这样，交易者1和4就构成一个交易循环，他们可以互换物品并从市场中退出。在第二阶段，只剩下交易者2和3，还有他们各自的初始禀赋和，如果2和3都表明偏好，则他们之间不会交换。这样经过交换以后最后的配置为：。这个配置是稳定的，因为没有交易者可以结盟，即通过交换增进所有交易者的福利。如果初始禀赋，则交易者之间不会有交换，即初始禀赋是一个稳定的配置。

    在现实世界中，一些重要的配置问题可以应用沙普利和斯卡夫（1974）的最大交易循环法则来解决。比如，器官配置、学校资源分配和医疗服务等问题。

    （三）后续研究

    盖尔-沙普利法则在一定的假设条件和运作规则下是可行的，并能找到稳定配置解。可这个法则能否应用到现实中，解决有关的现实问题呢？沙普利以及很多学者做了很多后续研究，把盖尔-夏普里法则进行发展，并应用到现实问题的解决当中去，其中做出突出贡献的当属和沙普利一起获得2012年诺贝尔经济学奖的罗思。

    在理论上盖尔-沙普利法则被解释成一个分权程序：申请、提供、拒绝和接受。但是在现实中，法则的运行却以一个集权的形式通过一个类似清算所的机构来进行。求职者按照个人对雇佣者从高到低的偏好次序提交申请；雇佣者也提出他们的申请。清算机构利用显示机制进行匹配。当参与者如实表明自己的偏好次序是对自己最优时，说真话就是博弈的占优策略，这时显示机制是激励相容的。Dubins & Freedman（1981）、罗思（1982）认为，当法则是雇佣者偏向时，如果没有雇佣者和雇佣者联盟能够从隐藏他们的偏好信息而增加好处，那么显示机制就是雇佣者激励相容的。不过，对于求职者来说，显示机制不一定是激励相容的，说实话不一定是求职者的占优策略。罗思（1982）证明了，没有稳定的匹配机制以保证真实表明自己的偏好是每个参与人的占优策略。不过，罗思 (1984a)证明了一个有关盖尔-沙普利法则的一般事实：如果把说谎显示的偏好当成真实的话，经过法则进行匹配，那些经过说谎显示的偏好形成的非占优纳什均衡结果也是稳定的。虽然某个参与者说谎可以增加他的支付或效用，但是当存在不同的市场而且参与者众多时，某个参与者对其他参与者的偏好的信息十分有限时，罗思等(Roth & Rothblum,1999)认为，某个参与者不能够通过说谎增加他的支付。他们(1999)通过用随机生成的数据和从居民匹配计划得到的数据进行电脑模拟，经过研究发现如果市场很大，只有少数人可以通过说谎改进福利。Immorlica & Mahdian（2005）、 Kojima & Pathak（2009）的研究则阐明了在市场足够大时，通过说谎而获得的改进是如何消失的。

    沙普利等(Shapley & Shubik,(1971)考虑了匹配者之间支付可转让的盖尔-沙普利法则。当求职者和雇佣者互相匹配时，可转让支付的假设就会使匹配的工资内生于出清的市场。他们的研究表明，配置博弈模型的核非空，而且匹配竞争严格限制了核的集合，在这个模型中，核和竞争均衡精确一致，而且每个核配置一定包含一个最大化总剩余的匹配。通常情况下，匹配是唯一的，不过匹配时的工资不是唯一的，就像盖尔-沙普利法则一样会造成利益分化。当匹配是雇佣者偏向时，工资就低；当匹配是求职者偏向时，工资就高。当支付可转让时，他们并没有给出一个可以实现稳定匹配的法则。Crawford & Knoer (1981)的研究表明，在可转让支付时，通过一般化盖尔-沙普利法则可以给出一个实现稳定配置的法则。当旁支付（side-payment）存在时，滞后接受法则可被看成多标的同时竞标的英式拍卖。只要是标的是可替代的，竞拍结束后会形成竞标者偏好的核配置。罗思等（Roth & Sotomayor, 1990)讨论了匹配和拍卖之间的联系。

二、沙普利值及其他贡献

    从研究方法论上讲，博弈论并没有摆脱新古典经济学研究方法的窠臼，而只是新古典经济学的延续，即它放松了一些假设，用不同的工具分析交易和资源配置问题。其中最根本的一点就是配置解的稳定性这个特征，这个特征和新古典经济学的竞争市场出清出现的均衡类似，不过是用了不同的分析和求解工具而已。

    （一）稳定性、核和竞争均衡

    用表示个体的获得的支付，表示支付向量。当支付可以转让时，如果下式成立：　

（略）  （1）

（1）式说明配置是不稳定的，因为有联盟可以增加该联盟成员的支付。如果下式对任意联盟成立：

（略）（2）

    （2）式说明配置是稳定的。

    如果交易者之间的支付是不可转让的，联盟对该组织成员的改进就有强弱之分，即某些成员的支付或效用是严格增进的，而某些成员的支付是不变，但那些支付没有得以改进的成员仍被假设有意愿进入联盟。所以，不管支付是否可以在交易者之间转让，我们仍可以对配置的稳定性进行定义为：如果没有联盟增加该成员的支付，我们就说这个配置是稳定的。

    博弈分为合作博弈和非合作博弈。与非合作博弈不同，合作博弈通常省略有关策略方面的细节，而着重研究在可做出具有约束协议的情况下，联盟与联盟之间的合作和对抗，以及如何分配合作的所得。由于合作博弈中存在具有约束力的协议，所以每个参与者都能够根据自己的利益与其他参与者组成一个小团体，共同合作以得到更大的总支付。可以把这些小团体称之为联盟。而所有参与者组成的联盟称之为总联盟。如果总得益可以在参与者之间进行转移，就称之为支付可转移的合作博弈；反之，则称之为支付不可转移的合作博弈。因为每个参与者都是理性的，所以一个为所有参与者所接受的支付向量一定是符合整体理性和个体理性的。我们可以称一个符合整体理性和个体理性的支付向量为一个分配或有效的分配。

    其实，合作博弈理论中配置的稳定解和非合作博弈理论中的纳什均衡是对应的。纳什均衡就是一个稳定解，在这个稳定解上，单个参与者不能通过单方面的偏离而增加支付。在合作博弈理论中，一个稳定配置本质上也是一个博弈稳定解，在这个稳定解上，没有联盟可以通过偏离而增加本联盟及其组织成员的支付。通过比较，我们可以看到，非合作博弈到合作博弈的最大扩展就是从个体与个体之间的博弈拓展到群体与群体之间的博弈。这样，博弈论作为分析工具不仅可以分析微观层面的问题，也可以分析甚至解决中观和宏观层面的问题。

    从经济配置资源的角度看，如果交易者有谈判能力，有时间，可以自由在彼此间进行交易，那么交易者个体之间就会达成交易，或者说就会有某些交易者结成联盟以增加联盟及其成员的支付，这样达成的资源配置就是有效率且稳定的。可以看到这个内涵和新古典经济学的假设一脉相承。这些经过交易达到的稳定的分配组成的集合称之为核，核是一个凸的闭集。核的概念是沙普利（1952）和Gilies(1953)分别提出，由Gilies(1959)正式发表。此外，Shubik（1959）认为，在支付可转移情况下，核与埃奇沃斯（1881）提出的契约曲线有着密切的联系。因为核需要满足个体理性、整体理性和小联盟的理性，所以需要有严格的条件才能保证核非空。Bondareva(1963)和沙普利（1967）分别给出了核非空的条件。在支付不可转移情况下，联盟型的核和支付可转移情况下基本上是一样的，它们都是所有稳定分配的集合。支付不可转移的联盟的核，是由Aumann（1961）对支付可转移的联盟核加以扩展而提出的。此外，Debreu & Scarf（1963）证明，支付不可转移的核与埃奇沃斯的契约曲线也存在密切的联系。Scarf(1967)和Billera(1970)在效用不可转让的情况下推广了他们的结果。Shapley(1971)证明，如果博弈是凸的（如果别的交易者加入联盟，一个交易者对联盟的边际贡献是递增的），核总是非空。

    （二）沙普利值

    合作博弈的解即使存在，也不一定是唯一的，而且还有不存在的可能。如果不能找到存在、稳定且唯一的解，这就给我们解决问题带来了困难。沙普利为这一问题的解决做出了贡献。沙普利值是沙普利（1953）提出的，最初只可适用于支付可转移的情况下，其后沙普利（1969）扩展到支付不可转移的情况下。

    沙普利是基于一些假设、定义和公理基础之上得到能够求出沙普利值的函数的。沙普利假设存在一个包含所有参与者的宇集（universal set）,而每个博弈中的所有参与者集合，都是宇集的子集，并称为一个载形（carrier）。载形可以定义为:在一个支付可转移的联盟型博弈里，联盟称为一个载形，当且仅当，对于任何一个联盟，都存在着以下的关系：。

    根据以上定义的含义可知，一个载形包含了所有会对至少一个联盟做出贡献的参与者，即任何不属于载形的参与者都不会对任何联盟做出贡献，我们可以称这些参与者为哑（dummy）参与者。

    关于参与者之间的关系可以用互换性界定。互换性可以定义为：参与者和在联盟型博弈中是可互换的（interchangeable），当对于所有包括参与者但不包括参与者的联盟，都存在着以下关系：。

    根据以上可互换性的定义可知，参与者和对于联盟的贡献是完全一样的。根据以上两个定义，我们可以称维向量为一个值，这个值包含了个实数，分别代表在联盟型博弈中的位参与者所分得的支付。这个值也可以理解为，每位参与者在博弈开始之前对自己所分得的支付合理的期望。

这个值满足以下三个公理。

    公理1：如果集合是一个载形，那么，此公理又称效率公理，符合参与者的整体理性。

    公理2：如果参与者和是可互换的，那么，此公理又称对称公理，即参与者的名称不会对博弈造成影响。

    公理3：如果和是两个博弈，那么 ，此公理又称可加性，即任何两个独立的博弈联合在一起所组成的新博弈的值是原来两个博弈的值的相加之和。

如果，，某个联盟博弈对于任意非负常数，我们可以得到另一个联盟博弈，其中，。

    如果定义用表示里面元素的个数。

    用上面的定义和公理可以得到两个引理。

    引理1：对于，，有

    引理2：任何特征函数都是，的线性组合，即。

    在以上假设、定义和公理情况下，存在一个唯一的价值函数，其可以表达为：

，，其中

    根据以上的界定，沙普利值具有三个特性：个体理性、整体理性和唯一性，而且还是有效率的。由于被易于量化计算的可操作性，沙普利值成为一个在博弈论、计量经济学和其他社会学科中最为广泛使用的算法。沙普利等(Shapley & Shubik,1954）便利用沙普利值计算联合国安全理事会成员国的权力值，这也是沙普利值最早被应用到实践中。Shubik（1962）把沙普利值应用到会计学上，认为沙普利值适用于计算一间公司的内部成本调配，Borch(1962)把沙普利值应用到保险学上，并指出沙普利值能合理地计算所有类别的风险。另外，Roth(1988)主编的著作详细地介绍了很多学者对沙普利值的扩展和应用。

    除了上面的沙普利值和两个法则，沙普利的贡献还有随机对策理论、Bondareva-Shapley规则、Shapley–Shubik权力指数、潜在博弈论概念、Aumann–Shapley定价理论、Harsanyi–Shapley解决理论、Shapley–Folkman定理。除此以外，他早期与R.N.Snow和S.Karlin在矩阵对策上的研究也影响至今；对效用理论的研究为冯·诺依曼-摩根斯坦稳定集(Von Neumann-Morgenstern Stability Set)存在问题的解决奠定了基础，在非合作博弈理论及长期竞争理论上与Aumann的工作对经济学理论产生了巨大影响。

三、简评

    从沙普利和以上学者的贡献可以看出，他们想“纠正”市场失灵重新让市场恢复到均衡状态，以实现资源配置最优。可以说，他们为资源的优化配置做出了很大的贡献。可是，通过了解以上学者的理论贡献，还有几点需要我们注意：（1）虽然通过一些机制我们能够找到稳定匹配解，可是匹配解是有利益偏向的，重要的问题是机制设计者应该照顾谁的利益，机制设计者能够左右利益分配，甚至有能力达到公平和效率兼顾吗？（2）即使上面的问题能够解决，上面的机制能够实现雇佣者和求职者同时激励相容，可是有谁来激励机制设计者，机制设计者是否会和某一方达成共谋，如果存在共谋，应该怎么解决才能达到三方激励相容和稳定匹配解。（3）如果市场足够大，是竞争的，信息成本忽略不计，匹配双方是对等的，匹配的稳定解几乎和完全竞争市场出清的均衡等同，不过根据讨价还价理论可知，最后的讨价还价解取决于双方的初始禀赋、风险偏好和耐心等特征，匹配机制也应该把这些因素考虑进去。（4）以上的机制和理论只是应用于一些特殊的领域，而不应该沉迷于机制和理论在某些领域的成功而随意扩展。当然，这不是否认他们为认知世界和解决问题所做的努力和贡献，而是要对理论的局限和使用范围有个清醒的认识，才能利用理论造福社会，否则就有可能危害社会。

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　 〔加〕杨荣基（David W.K. Yueng）、彼得罗相（Leon A.Petrosyan）、李颂志（Markus C.C. Lee），2007：《动态合作：尖端博弈理论》，中国市场出版社。

　 赵耀华 蒲勇健，2010：《博弈论与经济模型》，中国人民大学出版社。

    注：王培志，山东财经大学国际经贸学院，电子邮箱: wpzmail@126.com。杨依山，山东财经大学国际经贸学院文化与世界经济发展研究所（中心），山东大学历史文化学院，邮政编码：250014，电子邮箱：yangyishan2008@yahoo.cn。

注：因网页兼容性问题，文中图、表、公式从略，全文请阅读《经济学动态》2012年第12期。